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GRACIAS agosto 16, 2010

Archivado en: Uncategorized — sandycec2010 @ 3:23 am

MUCHAS GRACIAS POR HABER PRESTADO SU ATENCION  A ESTE  BOG EDUCATIVO!!!!    RECUERDEN QUE ESTAS CLASES  SON RECIBIDAS EN EL CENTRO ESCOLAR CRISTIANO LA FUERZA PROFESIONAL DEL FUTURO ….  EN ESTE COLEGIO ENCONTRARAN LO MEJOR EN EDUCACION Y POR SU PUESTO QUE LO MEJOR EN TECNOLOGIA!!!   VISITENOS EN 10AV.  COLONIA LA FLORIDA GUATEMALA,  GUATEMALA  C.A.        SANDY ESCOBAR ALUMNA CEC

 

PRODUCTO NOTABLE

Archivado en: Uncategorized — sandycec2010 @ 3:13 am
  • Definición

  • Ejercicios para la clase

  • Laboratorio N° 01

  • División algebraica

  • Estudio de cada uno de los métodos

  • Laboratorio N° 02

  • Problemas resueltos

  • Tareas

  • Definición

    Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también “Identidades Algebraicas”. Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

    1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

    2. Binomio de Suma al Cuadrado

      ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2

    3. Binomio Diferencia al Cuadrado

      ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2

    4. Diferencia de Cuadrados

      ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

      = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

    5. Binomio Suma al Cubo

      ( a – b )3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3

    6. Binomio Diferencia al Cubo

      a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

    7. Suma de dos Cubos

    • Diferencia de Cubos

    a3 – b3 = ( a – b ) ( a2 + ab + b2)

    • Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

    ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

    = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

    • Trinomio Suma al Cubo

    ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

    • Identidades de Legendre

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

    • Producto de dos binomios que tienen un término común

    ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

     Ejemplos :

    1. Solución :

      Aplicando producto notable en “a” que es una suma de binomios

      x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2

      Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2

      Aplicando en “d” diferencia de cubos, tenemos :

      (x3 – 1)2 + (x2 + 1)2

      (x3)2 – 2×3 (1) + 1 + (x3)2 + 2×3 (1) + 1

      (x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2

      = 2×6 + 2 = 2 (x6 + 1)

    2. Efectuar : ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2

      M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

      Solución

      Ordenando los productos notables tenemos :

      ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

      * **

      Aplicando : cubo de la suma de un binomio en ” * “, tenemos :

      ( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

      Aplicando el producto de suma de cubos en : “* *”, tenemos :

      ( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 + b6

      Remplazando en la expresión inicial tenemos :

      ( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

      Ordenando los factores tenemos :

      ( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

      ¨

      aplicando productos notables en “¨ ” :

      ( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.

    3. Simplificar :

      Solución

      Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos :

      Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos :

      K = a2 – b2 Rpta.

    4. Simplificar :

    5. Hallar el valor de P :

    Solución :

    à P = à à P = 91/2 à

    • P = 3 Rpta.

    1. Hallar el valor de E :

    Solución :

    EJERCICIOS PARA LA CLASE

    1. R = (a + b + c) (a + b – c) + (a + b – c) (a – b + c) + ( a – b + c) (b + c – a) +

      ( b – c + a) (b – c – a) – 4ab

    2. Efectuar :

    3. Reducir :

    4. Calcular el valor de :

    5. Simplificar :

    N = (x-2) ( x + 3) (x – 4)(x+1) – x2 (x – 1)2 + 14x (x-1) – 24

    5. Si:

    Hallar el valor de K :

    K = x(x + 1) ( x + 2) (x + 3)

    LABORATORIO N° 01

      1. (ax + 1)2 (ax – 1)2 (a2x + 1)2

      2. (a + 2)( a – 2) (a2 – 2 a + 4) (a2 + 2 a + 4)

      3. (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) ( x4 – x2 + 1) (x4 – 1)

    1. Reducir :

      A = ( x + 2)2 (x – 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 (x – 2)2

    2. Hallar el valor de A :

    3. Si : x + x-1 = 3 Hallar : E = x6 + x-6

      a) ( x + 1/x)2 ; b) ( x4 – x + 3)2 ; c) (x4 – 9) (x4 – 7)

      b) (x4 + 3)2 (x4 – 3)2 ; e) (x + y + 3) (x + y – 3); f) (x5 + 1) (x10 – x5 + 1)

      g) ; h) ; i) (x – 2) (x-4) (x-9)

    4. Efectuar :

    5. La suma de dos números es 5 y su producto 5. ¿cuál es la suma de sus cubos?

    6. La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de los cuadrados.

    7. Simplificar :

    8. Si : ( a + 1)2 = (+2) a calcular :

      B = ( a + b + c)2 + (a + b – c)2 + (b + c – a)2 + ( c + a – b)2

    9. Calcular :

    10. Si : a + b + c = 2

    a2 + b2 + c2 = 6

    a3 + b3 + c3 = 17 Hallar : a . b . c

    Si : A = ( x + 8) (x + 9) – (x + 7) ( x + 10)

    B = ( x – 5) ( x – 4) – (x – 6 ) (x – 3) Hallar A . B

    11. Simplificar :

    12. Calcular :

    W = a5 + b5

    Si : a + b = 4

    a . b = 2

    Respuestas :

    1) a) a4x; b) a6 – 64; c) x12 – 1; 2) A = x8 – 10 x6 + 33 x4 – 40×2 + 16; 3) E = 322

    4) 50; 5) 21; 6) x + y; 7) 5 = 3; 9) 1; 10) 4; 11) x +a; 12) 464

    DIVISIÓN ALGEBRAICA

    Definición :

    División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividiendo y divisor.

     

    Así tenemos :

    D

    d

     

    Donde :

     

    r

    q

     

    D : dividendo

     

     

     

     

    d : divisor

     

     

     

     

    q : cociente

     

     

     

     

    r : residuo

    Nota Importante: En toda división la nomenclatura de grados es :

    1. D° = grado de dividendo

    2. d° = grado de divisor

    3. q° = grado de cociente

    4. r° = grado de residuo o resto

    Propiedades fundamentales

    1. D = dq ó

      r = 0

    2. Si la división es exacta, se obtiene un cociente exacto y el residuo de la división es un polinomio idénticamente nulo.

    3. Si la división es inexacta se obtiene un cociente completo y el residuo de la división no es un polinomio idénticamente nulo.

    D = d . q + r ó D = q + r/d

    r ≠ 0

    Propiedades de la división

    1. q° = D° – d°

    2. En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

      D° ≥ d°

    3. En toda división, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor :

      d° > r°

    4. En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto.

      r maximo = d° – 1

    5. En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos 1

    6. En el caso de polinomios homogéneos el grado del resto es mayor que el grado del divisor : r° > d°

    7. En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4

    Casos de la División

    1. División de los monomios

    • Se aplica la regla de los signos en la división de signos.

    • Se dividen los coeficientes

    • Se dividen las letras aplicando teoría de exponentes.

    Ejemplo :

    Dividir : efectuando tenemos : S = -8×3 y2 z2

    1. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, separando los coeficientes parciales en sus propios signos.

      Ejemplo :

      Dividir :

      Solución :

      Dividiendo cada término del dividendo entre el divisor, tenemos :

      Efectuando tenemos :

      K = 9 x2 y2 – 5×4 y4 z2 + 11×10 y7 z4

    2. División de un Polinomio por un Monomio

      En este caso se pueden usar cualquiera de los siguientes métodos :

      1. Método clásico o normal

      2. Método de coeficientes separados

      3. Método de Horner

      4. Método de Ruffini

      ESTUDIO DE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES METODOS

    3. División de los Polinomios

      Para dividir mediante este métodose debe seguir los siguientes pasos :

    4. Método Clásico o Normal

    5. Se ordena los polinomios, generalmente en forma decreciente.

    6. Se escribe en línea horizontal uno a continuación de otro utilizando el signo de división aritmética.

    7. Se divide el primer término del dividendo, entre el primer termino del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.

    8. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo.

    9. Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtienen el segundo término del cociente.

      Ejemplo : Hallar el cociente en la siguiente división :

      Solución : Ordenamos ambos polinomios en forma decreciente, la operación se dispone en la forma siguiente :

       

      6×5 – 21×4 – 13×3 + 25×2 – 12x + 7

       

      3×4 + 0×3 + 0×2 – 2x + 1

      - 6×5 – 0×4 – 0×3 + 4×2 – 2x

       

      2x – 7

       

      -21×4 – 13×3 + 29×2 – 14x + 7

       

       

       

      21×4 + 0×3 + 0×2 – 14x + 7

       

       

       

      -13×3 + 29×2 – 28x + 14

       

       

      Donde : cociente ( q ) = 2x – 7

      Residuo ( r ) = -13×3 + 29×2 – 28x + 14

    10. Se procede como en el pasa 4 y así sucesivamente hasta terminar la división.

      En este caso, además de los consideraciones anteriores se debe tener en cuenta :

    11. Método de Coeficientes Separados

    12. Se trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor.

    13. En el caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, en el divisor.

    14. De esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del polinomio cociente.

      q° = D° – d

      r° = d – 1

      1. Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

      Ejemplo : Efectuar la siguiente división :

      Solución : Observamos que el polinomio dividendo y divisor están ordenados.

      Luego :

       

      6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7

       

      3 – 1 + 1

      - 6 + 2 – 2

       

      2 – 6 – 7 + 8

       

      - 18 – 15 + 25

       

       

       

      18 – 6 + 6

       

       

       

       

      -21 + 31 – 12

       

       

       

       

      +21 – 7 + 7

       

       

       

       

       

      24 – 5 + 7

       

       

       

       

       

      -24 + 8 – 8

       

       

       

       

       

      + 3 – 1

       

       

      El cociente ( q ) es de grado : q° = D° – d° = 5 – 2 = 3

      \ El cociente es q = 2×3 – 6×2 – 7x + 8

      el de grado : r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1

      El resto ( r ) es de grado r = 3x – 1

    15. Para determinar el grado del cociente y resto se aplican las propiedades :

    16. Método de Horner

    Este método es un caso particular del método de coefientes separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado.

    Procedimiento :

    • Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo

    • Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.

    • El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.

    • Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.

    • Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.

    • Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.

    • Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último termino del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.

    • Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.

    Ejemplo Efectuar la división polinómica expresada por :

    Solución :

    Los grados del cociente y residuo serán :

    q° = D° – d° = S – 2 = 3

    r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1

    Procedimiento :

     

    Columna

    Cocientes del dividendo

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    12

    - 4

    + 8

     

     

    Fila

    4

    8

    + 14

    + 5

    +16

    + 3

    + 2

    Coeficiente que si se les cambia de signo

    -1

     

    -2

    - 6

     

     

     

    -3

     

     

    - 3

    - 9

     

     

     

     

     

     

    + 1

    + 3

     

     

     

     

     

     

    - 2

    - 6

     

     

    2

    3

    - 1

    2

    4

    - 4

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Coeficiente del cociente

    Coeficiente del resto

     

     

     

     

     

    Explicación

    Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es el primer coeficiente del cociente

    2 se multiplica por los términos del divisor, a los cuales se le cambió de signo ( -1; -3), dando como resultado : -2; -6 que se colocan en la fila corriendo un lugar hacia la derecha.

    Se suma a la segunda columna ( correspondiente al dividendo) y el resultado se divide entre 4 igual a 3, este valor es el segundo coeficiente del cociente.

    3, se multiplica por ( -1; – 3) y da la tercera fila : -3 ; – 9, corriendo un lugar hacia la derecha.

    Se suma la tercera columna, da – 4, se divide entre 4, da – 1; este resultado es el tercer coeficiente del cociente.

    -1, se multiplica por ( -1; -3) y da la fila : +1; +3, corriendo un lugar a la derecha.

    Se suma la cuarta columna, da +8, se divide entre 4, da 2, este resultado es el cuarto coeficiente del cociente.

    2, se multiplica por ( -1) y (-3) y da la fila : -2 y -6

    como el último término de este producto queda debajo del último coeficiente del dividendo 2, se separa con una línea los términos obtenidos los cuales pertenecen al cociente.

    Se reducen las siguientes columnas, da 4 y -4 y se baja directamente, y se bajan directamente y vienen a ser los coeficientes del resto.

    Entonces : Q(x) = 2×3 + 3×2 – x + 2 ( cociente obtenido)

    R(x) = 4x – 4 ( residuo obtenido)

    2. Dividir :

     

    Solución : q° = D° – d°

    q° = 5 – 2 = 3

    r° = d – 1 = 2 – 1 = 1

    Solución :

     

     

    - 18

    - 21

    24

     

     

    3

    6

    - 20

    - 13

    + 25

    - 12

    + 7

    1

     

    2

    - 2

     

     

     

    -1

     

     

    - 6

    + 6

     

     

     

     

     

     

    - 7

    + 7

     

     

     

     

     

     

    + 8

    - 8

     

    2

    - 6

    - 7

    + 8

    + 3

    - 1

     

     

     

     

     

     

    Q (x) = 2×3 – 6×2 – 7x + 8

    ( cociente obtenido )

    R (x ) = 3x – 1

    ( residuo obtenido)

    1. Regla de RUFFINI

    Esta regla, es un caso particular del método de Horner. Se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las siguientes formas :

    x ± b ; ax ± b y axn ± b

    Se estudian 3 casos :

    • Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

    su forma general : x ± b . se opera así :

    1. Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;

    2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;

    3. Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.

      Ejemplo :

      1. Solución :

        Escribimos los coeficientes en el respectivo cuadro ( completando con ceros los términos que faltan):

        q° = D° – d° = 5 – 1 = 4

        r° = d° – 1 = 1 – 1 = 0

         

        Cocientes del dividendo

         

         

         

         

         

         

         

         

        2

        0

        1

        0

        3

        2

        - 1

         

        - 2

        2

        - 3

        3

        - 6

         

        2

        - 2

        3

        - 3

        6

        - 4

         

         

         

         

         

         

        Resto

         

        Coeficiente del cociente

         

         

         

         

         

         

        Termino Independiente del divisor con signo cambiado

        Entonces : Q(x) = 2×4 – 2×3 + 3×2 – 3x + 6 ( cociente obtenido)

        R(x) = 4 ( residuo obtenido)

      2. Obtener el cociente y el resto en la división :

      3. Efectuar :

    4. Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

    Solución : ordenando y completando el polinomio dividiendo tenemos :

    Operando tenemos :

    q° = D° – d° = 6 – 1 = 5

    r° = d – 1 = 1 – 1 = 0

    Cocientes del dividendo

     

    3

    0

    2

    - 3

    0

    0

    5

    2

     

    6

    12

    28

    50

    100

    200

     

    3

    6

    14

    25

    50

    100

    205

     

     

     

     

     

     

     

    Resto

     

    Coeficiente del cociente

     

     

     

     

     

    Donde :

    Cociente obtenido : 3

    Residuo obtenido :

     

    1. Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

    Su forma general es : ax ± b

    • Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es decir :

    • ( ax ± b) = a ( a ± b/a )

    • Se divide entre ( x ± b/a) , como en el primer caso.

    • Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor.

    • El resto obtenido no sufre alteración

    Ejemplo : Hallar cociente y resto en :

    Solución :

    a) Se factoriza 3 así :

    b) Dividiendo entre x + 2/3

    c) Previamente se completa el dividendo con cero

    Operamos así :

    Ordenando y completando los coeficientes de el polinomio, tenemos :

     

    18

    0

    - 29

    - 5

    - 12

    - 16

     

    - 12

    8

    14

    - 6

    12

     

    18

    - 12

    - 21

    9

    - 18

    - 4

     

     

     

     

     

    Donde :

    Cociente obtenido : 18×4 – 12×3 – 21×2 + 9x – 18

    Residuo obtenido : – 4

    1. En este caso para que la división se pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor.

      Ejemplo Hallar el cociente y el resto en :

      Solución :

      Observamos que los exponentes de la variable del dividendo son múltiplos del exponente del divisor (9), por lo tanto, se puede aplicar el método.

      Haciendo : x9 = y, la división es :

      3y + 1 = y + 1/3 = 0 Þ y = -1/3

       

      6

      + 17

      - 16

      + 17

      + 12

      -1/3

       

      - 2

      - 5

      7

      - 8

       

      6

      + 15

      - 21

      + 24

      4

       

       

      Cociente primario : 6y3 + 15y2 – 21y + 24

      Simplificando tenemos ( dividiendo entre 3) : 2y3 + 5y2 – 7y + 8

      Reemplazando : y = x9 , el cociente será : 2×27 + 5×18 – 7×9 + 8

      Y de residuo o resto, tenemos : R = 4

      LABORATORIO N° 02

    2. Cuando el divisor es de la forma : axn + b

    3. Calcular el cociente y el resto de la división

    4. Calcular A + B; si la división en exacta :

      El resto obtenido es un Polinomio idénticamente nulo.

    5. Calcular : “m” y “n” si la división :

    6. Dividir por el método de Horner :

      Banco A : ( x5 – 5×2 + 2) soles

      Banco B : ( 6×3 + 7×6 – 6) soles

      Banco C : (2×4 – 2×2 + x ) soles

      Banco D : ( – 2×4 – 6×3 + 5) soles

      Si quisiera repartir entre (x2 + x + 1) personas entre partes iguales. ¿cuánto le tocará a cada uno?

    7. Mi capital esta en las siguientes bancos :

      a)

      b)

      c)

      d)

      PROBLEMAS RESUELTOS

    8. Dividir :

      Solución :

       

      7

      28

      2

      -7

      22

      -16

      3

       

      12

      - 20

       

       

       

       

       

      6

      - 10

       

       

       

       

       

      - 9

      15

      -5

       

       

       

       

       

       

      4

      2

      - 3

      3

      - 1

       

      Q(x) : 4 x2 + 2 x – 3

      R(x) : 3 x – 1

    9. Efectuar por el método de Horner

      Solución : Haciendo : 4x + 3 = 0

      4 x = -3

      x = – 3/4

       

       

      20

      -13

      -13

      14

      -3/4

       

      -15

      21

      - 6

       

      20

      - 28

      8

      8

       

      Q(x) = 5×2 – 7 x + 2

      R(x) = 8

    10. Hallar Cociente y Resto por Ruffini

      es exacta

      Por método de Horner

       

      2

      6

      0

      - 13

      a

      - b

      4

       

      12

      - 15

       

       

       

       

       

      24

      - 30

       

       

       

       

       

      - 8

      10

      - 5

       

       

       

       

       

       

      3

      6

      - 2

      (a – 38) . (-b + 10)

      Si es exacta R = 0

      a – 38 = 0

      a = 38 – b + 10 = 0

      b = 10 a + b = 48 rpta.

    11. Hallar ( a + b ) si la división

       

      + 1

      1

      a + 1

      a + b

      b + 1

      a

      b

      - a

       

      - a

      - b

       

       

       

       

       

       

      - a

      - b

       

       

      - b

       

       

       

      0

      0

       

       

       

       

       

       

      - a

      - b

       

      1

      1

      0

      1

      0

      0

      Resto = 0

    12. Hallar el resto por método de Horner

      deja 4 de resto

       

      21×4 – 41×3 – 23×2 + mx – 16

      3 x – 5

      -21×2 + 35×3

       

      7×3 – 2×2 11x + 4

       

      -6 x3 – 23×2 + mx – 16

       

       

      +6×3 – 10×2

       

       

      - 33×2 + mx – 16

       

       

      + 33×2 – 55 x

       

      (m – 55)x – 16

       

       

      - 12 x + 20

       

      (m – 67) x + 4

       

      m – 67 = 0

      m = 67

      TAREA

      1. Resolver por el método de Horner

      Q(X) = 4×2 + 7 x + 2

      R(X) = 10 x + 1

    13. Calcular “m” si la división

      a) b)

      Q(X) = 4×2 + 13 x + 33 Q(X) = 5×2 + 7x + 4

      R = 67 R = 12

    14. Resolver por el método de Ruffini

      es 5

      por el método de ruffini. R : a = 19

    15. Hallar “a” si el resto de la división :

      Q(X) = 4 x2 – 2x + 3

      R(X) = 3×2 + 6 x – ( a + 9)

    16. Hallar el resto y cociente por le método de Horner

      1. 4×4 + 2×3 – 12×2 + 35x – 25 : 2×2 + 4x – 5

      2. x6 + x5 y – 7×4 y2 + 12×3 y3 – 13×2 y4+7x y5 – y6 : x2 – 2 x y + y2

      3. xm+2 – 5xm – 3xm+1 + 20xm-1 + 25xm-3 : xm – 3xm-1 + 5xm-3

      4. x2n – 4x2n-2 + 5x2n-3 + 2x2n – 4 – 2x2n-4 : xn – xn-1 + xn-2

    17. Dividir por el método clásico :

      Teorema del Resto

      Es el método por el cual se obtienen el residuo de una división algebraica sin efectuar división.

      1° El divisor se iguala a cero

      2° Conseguiremos el resto Remplazando el valor anterior en el dividendo D

      Ejemplos

      Calcular el resto de las divisiones :

      1) 2n4 – 5n3 + 7n2 – 9n + 3 ÷ ( n – 1 )

      Solución

      1° n – 1 = 0

      2° n = 1 se reemplaza en el dividendo :

      n = 1R = 2n4 – 5n3 + 7n2 – 9n + 3

      R = 2( 1)4 – 5(1)3 + 7(1)2 – 9(1) + 3

      R = 2 – 5 + 7 – 9 + 3

      R = – 2 Residuo

    18. Dividir entre monomios y polinomio entre monomio

      2×4 – 4×2 + 3x + 6 ÷ 3 + 2

      Solución

      3x + 2 = 0

      3x = – 2

      x = -2/3

      se reemplaza en :

      2×4 – 4×2 + 3x + 6

    19. Hallar el residuo de los siguientes derivados

    Solución :

    x + y – z = 0

    x + y = z

    se reemplaza en

    R = ( x + y + z )2 – 4 z (x + y) + 3

    R = ( z + z)2 – 4z . z + 3

    R = (2 z)2 – 4 z2 + 3

    R = 4 z2 – 4 z2 + 3 à R = 3

    TAREA

    Hallar el residuo de los divisiones :

    1. 3×4 + 2¸ x3 + 13×2 + ¸ x – 6 ÷ 3x – ¸ R. -2

    2. (x + a)5 – x5 – a5 ÷ x + 2ª R. 30 a5

    3. [x (x + 1) (x + 2) (x + 3) – 12]4 ÷ x2 + 3x + 5 R. 81

    4. (x – y + 7)28 – (x – y + 5)15 + 3 ÷ (x – 4 + 6) R. 5

    5. 35×4 + 11×3 + 14×2 – 18x – 13 ÷ 5x + 3 R. 5

    6. Hallar “m” si la división :

    es exacta

    Solución :

    Por Teorema del Resto

    x + y = 0 à x = – y

    se remplaza en :

    (x – y)7 – x7 – my7 = 0

    (-y – y)7 – (-y)7 + my7 = 0

    (– 2y)7 – (-y)7 + my7 = 0

    – 128y7 + y7 – my7 = 0

    y7 ( – 128 + 1 + m) = 0

  • Definición

  • Ejercicios para la clase

  • Laboratorio N° 01

  • División algebraica

  • Estudio de cada uno de los métodos

  • Laboratorio N° 02

  • Problemas resueltos

  • Tareas

  • Definición

    Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también “Identidades Algebraicas”. Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

    1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

    2. Binomio de Suma al Cuadrado

      ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2

    3. Binomio Diferencia al Cuadrado

      ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2

    4. Diferencia de Cuadrados

      ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

      = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

    5. Binomio Suma al Cubo

      ( a – b )3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3

    6. Binomio Diferencia al Cubo

      a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

    7. Suma de dos Cubos

    • Diferencia de Cubos

    a3 – b3 = ( a – b ) ( a2 + ab + b2)

    • Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

    ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

    = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

    • Trinomio Suma al Cubo

    ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

    • Identidades de Legendre

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

    • Producto de dos binomios que tienen un término común

    ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

     Ejemplos :

    1. Solución :

      Aplicando producto notable en “a” que es una suma de binomios

      x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2

      Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2

      Aplicando en “d” diferencia de cubos, tenemos :

      (x3 – 1)2 + (x2 + 1)2

      (x3)2 – 2×3 (1) + 1 + (x3)2 + 2×3 (1) + 1

      (x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2

      = 2×6 + 2 = 2 (x6 + 1)

    2. Efectuar : ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2

      M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

      Solución

      Ordenando los productos notables tenemos :

      ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

      * **

      Aplicando : cubo de la suma de un binomio en ” * “, tenemos :

      ( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

      Aplicando el producto de suma de cubos en : “* *”, tenemos :

      ( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 + b6

      Remplazando en la expresión inicial tenemos :

      ( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

      Ordenando los factores tenemos :

      ( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

      ¨

      aplicando productos notables en “¨ ” :

      ( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.

    3. Simplificar :

      Solución

      Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos :

      Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos :

      K = a2 – b2 Rpta.

    4. Simplificar :

    5. Hallar el valor de P :

    Solución :

    à P = à à P = 91/2 à

    • P = 3 Rpta.

    1. Hallar el valor de E :

    Solución :

    EJERCICIOS PARA LA CLASE

    1. R = (a + b + c) (a + b – c) + (a + b – c) (a – b + c) + ( a – b + c) (b + c – a) +

      ( b – c + a) (b – c – a) – 4ab

    2. Efectuar :

    3. Reducir :

    4. Calcular el valor de :

    5. Simplificar :

    N = (x-2) ( x + 3) (x – 4)(x+1) – x2 (x – 1)2 + 14x (x-1) – 24

    5. Si:

    Hallar el valor de K :

    K = x(x + 1) ( x + 2) (x + 3)

    LABORATORIO N° 01

      1. (ax + 1)2 (ax – 1)2 (a2x + 1)2

      2. (a + 2)( a – 2) (a2 – 2 a + 4) (a2 + 2 a + 4)

      3. (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) ( x4 – x2 + 1) (x4 – 1)

    1. Reducir :

      A = ( x + 2)2 (x – 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 (x – 2)2

    2. Hallar el valor de A :

    3. Si : x + x-1 = 3 Hallar : E = x6 + x-6

      a) ( x + 1/x)2 ; b) ( x4 – x + 3)2 ; c) (x4 – 9) (x4 – 7)

      b) (x4 + 3)2 (x4 – 3)2 ; e) (x + y + 3) (x + y – 3); f) (x5 + 1) (x10 – x5 + 1)

      g) ; h) ; i) (x – 2) (x-4) (x-9)

    4. Efectuar :

    5. La suma de dos números es 5 y su producto 5. ¿cuál es la suma de sus cubos?

    6. La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de los cuadrados.

    7. Simplificar :

    8. Si : ( a + 1)2 = (+2) a calcular :

      B = ( a + b + c)2 + (a + b – c)2 + (b + c – a)2 + ( c + a – b)2

    9. Calcular :

    10. Si : a + b + c = 2

    a2 + b2 + c2 = 6

    a3 + b3 + c3 = 17 Hallar : a . b . c

    Si : A = ( x + 8) (x + 9) – (x + 7) ( x + 10)

    B = ( x – 5) ( x – 4) – (x – 6 ) (x – 3) Hallar A . B

    11. Simplificar :

    12. Calcular :

    W = a5 + b5

    Si : a + b = 4

    a . b = 2

    Respuestas :

    1) a) a4x; b) a6 – 64; c) x12 – 1; 2) A = x8 – 10 x6 + 33 x4 – 40×2 + 16; 3) E = 322

    4) 50; 5) 21; 6) x + y; 7) 5 = 3; 9) 1; 10) 4; 11) x +a; 12) 464

    DIVISIÓN ALGEBRAICA

    Definición :

    División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividiendo y divisor.

     

    Así tenemos :

    D

    d

     

    Donde :

     

    r

    q

     

    D : dividendo

     

     

     

     

    d : divisor

     

     

     

     

    q : cociente

     

     

     

     

    r : residuo

    Nota Importante: En toda división la nomenclatura de grados es :

    1. D° = grado de dividendo

    2. d° = grado de divisor

    3. q° = grado de cociente

    4. r° = grado de residuo o resto

    Propiedades fundamentales

    1. D = dq ó

      r = 0

    2. Si la división es exacta, se obtiene un cociente exacto y el residuo de la división es un polinomio idénticamente nulo.

    3. Si la división es inexacta se obtiene un cociente completo y el residuo de la división no es un polinomio idénticamente nulo.

    D = d . q + r ó D = q + r/d

    r ≠ 0

    Propiedades de la división

    1. q° = D° – d°

    2. En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

      D° ≥ d°

    3. En toda división, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor :

      d° > r°

    4. En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto.

      r maximo = d° – 1

    5. En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos 1

    6. En el caso de polinomios homogéneos el grado del resto es mayor que el grado del divisor : r° > d°

    7. En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4

    Casos de la División

    1. División de los monomios

    • Se aplica la regla de los signos en la división de signos.

    • Se dividen los coeficientes

    • Se dividen las letras aplicando teoría de exponentes.

    Ejemplo :

    Dividir : efectuando tenemos : S = -8×3 y2 z2

    1. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, separando los coeficientes parciales en sus propios signos.

      Ejemplo :

      Dividir :

      Solución :

      Dividiendo cada término del dividendo entre el divisor, tenemos :

      Efectuando tenemos :

      K = 9 x2 y2 – 5×4 y4 z2 + 11×10 y7 z4

    2. División de un Polinomio por un Monomio

      En este caso se pueden usar cualquiera de los siguientes métodos :

      1. Método clásico o normal

      2. Método de coeficientes separados

      3. Método de Horner

      4. Método de Ruffini

      ESTUDIO DE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES METODOS

    3. División de los Polinomios

      Para dividir mediante este métodose debe seguir los siguientes pasos :

    4. Método Clásico o Normal

    5. Se ordena los polinomios, generalmente en forma decreciente.

    6. Se escribe en línea horizontal uno a continuación de otro utilizando el signo de división aritmética.

    7. Se divide el primer término del dividendo, entre el primer termino del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.

    8. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo.

    9. Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtienen el segundo término del cociente.

      Ejemplo : Hallar el cociente en la siguiente división :

      Solución : Ordenamos ambos polinomios en forma decreciente, la operación se dispone en la forma siguiente :

       

      6×5 – 21×4 – 13×3 + 25×2 – 12x + 7

       

      3×4 + 0×3 + 0×2 – 2x + 1

      - 6×5 – 0×4 – 0×3 + 4×2 – 2x

       

      2x – 7

       

      -21×4 – 13×3 + 29×2 – 14x + 7

       

       

       

      21×4 + 0×3 + 0×2 – 14x + 7

       

       

       

      -13×3 + 29×2 – 28x + 14

       

       

      Donde : cociente ( q ) = 2x – 7

      Residuo ( r ) = -13×3 + 29×2 – 28x + 14

    10. Se procede como en el pasa 4 y así sucesivamente hasta terminar la división.

      En este caso, además de los consideraciones anteriores se debe tener en cuenta :

    11. Método de Coeficientes Separados

    12. Se trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor.

    13. En el caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, en el divisor.

    14. De esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del polinomio cociente.

      q° = D° – d

      r° = d – 1

      1. Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

      Ejemplo : Efectuar la siguiente división :

      Solución : Observamos que el polinomio dividendo y divisor están ordenados.

      Luego :

       

      6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7

       

      3 – 1 + 1

      - 6 + 2 – 2

       

      2 – 6 – 7 + 8

       

      - 18 – 15 + 25

       

       

       

      18 – 6 + 6

       

       

       

       

      -21 + 31 – 12

       

       

       

       

      +21 – 7 + 7

       

       

       

       

       

      24 – 5 + 7

       

       

       

       

       

      -24 + 8 – 8

       

       

       

       

       

      + 3 – 1

       

       

      El cociente ( q ) es de grado : q° = D° – d° = 5 – 2 = 3

      \ El cociente es q = 2×3 – 6×2 – 7x + 8

      el de grado : r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1

      El resto ( r ) es de grado r = 3x – 1

    15. Para determinar el grado del cociente y resto se aplican las propiedades :

    16. Método de Horner

    Este método es un caso particular del método de coefientes separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado.

    Procedimiento :

    • Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo

    • Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.

    • El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.

    • Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.

    • Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.

    • Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.

    • Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último termino del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.

    • Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.

    Ejemplo Efectuar la división polinómica expresada por :

    Solución :

    Los grados del cociente y residuo serán :

    q° = D° – d° = S – 2 = 3

    r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1

    Procedimiento :

     

    Columna

    Cocientes del dividendo

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    12

    - 4

    + 8

     

     

    Fila

    4

    8

    + 14

    + 5

    +16

    + 3

    + 2

    Coeficiente que si se les cambia de signo

    -1

     

    -2

    - 6

     

     

     

    -3

     

     

    - 3

    - 9

     

     

     

     

     

     

    + 1

    + 3

     

     

     

     

     

     

    - 2

    - 6

     

     

    2

    3

    - 1

    2

    4

    - 4

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Coeficiente del cociente

    Coeficiente del resto

     

     

     

     

     

    Explicación

    Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es el primer coeficiente del cociente

    2 se multiplica por los términos del divisor, a los cuales se le cambió de signo ( -1; -3), dando como resultado : -2; -6 que se colocan en la fila corriendo un lugar hacia la derecha.

    Se suma a la segunda columna ( correspondiente al dividendo) y el resultado se divide entre 4 igual a 3, este valor es el segundo coeficiente del cociente.

    3, se multiplica por ( -1; – 3) y da la tercera fila : -3 ; – 9, corriendo un lugar hacia la derecha.

    Se suma la tercera columna, da – 4, se divide entre 4, da – 1; este resultado es el tercer coeficiente del cociente.

    -1, se multiplica por ( -1; -3) y da la fila : +1; +3, corriendo un lugar a la derecha.

    Se suma la cuarta columna, da +8, se divide entre 4, da 2, este resultado es el cuarto coeficiente del cociente.

    2, se multiplica por ( -1) y (-3) y da la fila : -2 y -6

    como el último término de este producto queda debajo del último coeficiente del dividendo 2, se separa con una línea los términos obtenidos los cuales pertenecen al cociente.

    Se reducen las siguientes columnas, da 4 y -4 y se baja directamente, y se bajan directamente y vienen a ser los coeficientes del resto.

    Entonces : Q(x) = 2×3 + 3×2 – x + 2 ( cociente obtenido)

    R(x) = 4x – 4 ( residuo obtenido)

    2. Dividir :

     

    Solución : q° = D° – d°

    q° = 5 – 2 = 3

    r° = d – 1 = 2 – 1 = 1

    Solución :

     

     

    - 18

    - 21

    24

     

     

    3

    6

    - 20

    - 13

    + 25

    - 12

    + 7

    1

     

    2

    - 2

     

     

     

    -1

     

     

    - 6

    + 6

     

     

     

     

     

     

    - 7

    + 7

     

     

     

     

     

     

    + 8

    - 8

     

    2

    - 6

    - 7

    + 8

    + 3

    - 1

     

     

     

     

     

     

    Q (x) = 2×3 – 6×2 – 7x + 8

    ( cociente obtenido )

    R (x ) = 3x – 1

    ( residuo obtenido)

    1. Regla de RUFFINI

    Esta regla, es un caso particular del método de Horner. Se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las siguientes formas :

    x ± b ; ax ± b y axn ± b

    Se estudian 3 casos :

    • Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

    su forma general : x ± b . se opera así :

    1. Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;

    2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;

    3. Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.

      Ejemplo :

      1. Solución :

        Escribimos los coeficientes en el respectivo cuadro ( completando con ceros los términos que faltan):

        q° = D° – d° = 5 – 1 = 4

        r° = d° – 1 = 1 – 1 = 0

         

        Cocientes del dividendo

         

         

         

         

         

         

         

         

        2

        0

        1

        0

        3

        2

        - 1

         

        - 2

        2

        - 3

        3

        - 6

         

        2

        - 2

        3

        - 3

        6

        - 4

         

         

         

         

         

         

        Resto

         

        Coeficiente del cociente

         

         

         

         

         

         

        Termino Independiente del divisor con signo cambiado

        Entonces : Q(x) = 2×4 – 2×3 + 3×2 – 3x + 6 ( cociente obtenido)

        R(x) = 4 ( residuo obtenido)

      2. Obtener el cociente y el resto en la división :

      3. Efectuar :

    4. Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

    Solución : ordenando y completando el polinomio dividiendo tenemos :

    Operando tenemos :

    q° = D° – d° = 6 – 1 = 5

    r° = d – 1 = 1 – 1 = 0

    Cocientes del dividendo

     

    3

    0

    2

    - 3

    0

    0

    5

    2

     

    6

    12

    28

    50

    100

    200

     

    3

    6

    14

    25

    50

    100

    205

     

     

     

     

     

     

     

    Resto

     

    Coeficiente del cociente

     

     

     

     

     

    Donde :

    Cociente obtenido : 3

    Residuo obtenido :

     

    1. Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

    Su forma general es : ax ± b

    • Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es decir :

    • ( ax ± b) = a ( a ± b/a )

    • Se divide entre ( x ± b/a) , como en el primer caso.

    • Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor.

    • El resto obtenido no sufre alteración

    Ejemplo : Hallar cociente y resto en :

    Solución :

    a) Se factoriza 3 así :

    b) Dividiendo entre x + 2/3

    c) Previamente se completa el dividendo con cero

    Operamos así :

    Ordenando y completando los coeficientes de el polinomio, tenemos :

     

    18

    0

    - 29

    - 5

    - 12

    - 16

     

    - 12

    8

    14

    - 6

    12

     

    18

    - 12

    - 21

    9

    - 18

    - 4

     

     

     

     

     

    Donde :

    Cociente obtenido : 18×4 – 12×3 – 21×2 + 9x – 18

    Residuo obtenido : – 4

    1. En este caso para que la división se pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor.

      Ejemplo Hallar el cociente y el resto en :

      Solución :

      Observamos que los exponentes de la variable del dividendo son múltiplos del exponente del divisor (9), por lo tanto, se puede aplicar el método.

      Haciendo : x9 = y, la división es :

      3y + 1 = y + 1/3 = 0 Þ y = -1/3

       

      6

      + 17

      - 16

      + 17

      + 12

      -1/3

       

      - 2

      - 5

      7

      - 8

       

      6

      + 15

      - 21

      + 24

      4

       

       

      Cociente primario : 6y3 + 15y2 – 21y + 24

      Simplificando tenemos ( dividiendo entre 3) : 2y3 + 5y2 – 7y + 8

      Reemplazando : y = x9 , el cociente será : 2×27 + 5×18 – 7×9 + 8

      Y de residuo o resto, tenemos : R = 4

      LABORATORIO N° 02

    2. Cuando el divisor es de la forma : axn + b

    3. Calcular el cociente y el resto de la división

    4. Calcular A + B; si la división en exacta :

      El resto obtenido es un Polinomio idénticamente nulo.

    5. Calcular : “m” y “n” si la división :

    6. Dividir por el método de Horner :

      Banco A : ( x5 – 5×2 + 2) soles

      Banco B : ( 6×3 + 7×6 – 6) soles

      Banco C : (2×4 – 2×2 + x ) soles

      Banco D : ( – 2×4 – 6×3 + 5) soles

      Si quisiera repartir entre (x2 + x + 1) personas entre partes iguales. ¿cuánto le tocará a cada uno?

    7. Mi capital esta en las siguientes bancos :

      a)

      b)

      c)

      d)

      PROBLEMAS RESUELTOS

    8. Dividir :

      Solución :

       

      7

      28

      2

      -7

      22

      -16

      3

       

      12

      - 20

       

       

       

       

       

      6

      - 10

       

       

       

       

       

      - 9

      15

      -5

       

       

       

       

       

       

      4

      2

      - 3

      3

      - 1

       

      Q(x) : 4 x2 + 2 x – 3

      R(x) : 3 x – 1

    9. Efectuar por el método de Horner

      Solución : Haciendo : 4x + 3 = 0

      4 x = -3

      x = – 3/4

       

       

      20

      -13

      -13

      14

      -3/4

       

      -15

      21

      - 6

       

      20

      - 28

      8

      8

       

      Q(x) = 5×2 – 7 x + 2

      R(x) = 8

    10. Hallar Cociente y Resto por Ruffini

      es exacta

      Por método de Horner

       

      2

      6

      0

      - 13

      a

      - b

      4

       

      12

      - 15

       

       

       

       

       

      24

      - 30

       

       

       

       

       

      - 8

      10

      - 5

       

       

       

       

       

       

      3

      6

      - 2

      (a – 38) . (-b + 10)

      Si es exacta R = 0

      a – 38 = 0

      a = 38 – b + 10 = 0

      b = 10 a + b = 48 rpta.

    11. Hallar ( a + b ) si la división

       

      + 1

      1

      a + 1

      a + b

      b + 1

      a

      b

      - a

       

      - a

      - b

       

       

       

       

       

       

      - a

      - b

       

       

      - b

       

       

       

      0

      0

       

       

       

       

       

       

      - a

      - b

       

      1

      1

      0

      1

      0

      0

      Resto = 0

    12. Hallar el resto por método de Horner

      deja 4 de resto

       

      21×4 – 41×3 – 23×2 + mx – 16

      3 x – 5

      -21×2 + 35×3

       

      7×3 – 2×2 11x + 4

       

      -6 x3 – 23×2 + mx – 16

       

       

      +6×3 – 10×2

       

       

      - 33×2 + mx – 16

       

       

      + 33×2 – 55 x

       

      (m – 55)x – 16

       

       

      - 12 x + 20

       

      (m – 67) x + 4

       

      m – 67 = 0

      m = 67

      TAREA

      1. Resolver por el método de Horner

      Q(X) = 4×2 + 7 x + 2

      R(X) = 10 x + 1

    13. Calcular “m” si la división

      a) b)

      Q(X) = 4×2 + 13 x + 33 Q(X) = 5×2 + 7x + 4

      R = 67 R = 12

    14. Resolver por el método de Ruffini

      es 5

      por el método de ruffini. R : a = 19

    15. Hallar “a” si el resto de la división :

      Q(X) = 4 x2 – 2x + 3

      R(X) = 3×2 + 6 x – ( a + 9)

    16. Hallar el resto y cociente por le método de Horner

      1. 4×4 + 2×3 – 12×2 + 35x – 25 : 2×2 + 4x – 5

      2. x6 + x5 y – 7×4 y2 + 12×3 y3 – 13×2 y4+7x y5 – y6 : x2 – 2 x y + y2

      3. xm+2 – 5xm – 3xm+1 + 20xm-1 + 25xm-3 : xm – 3xm-1 + 5xm-3

      4. x2n – 4x2n-2 + 5x2n-3 + 2x2n – 4 – 2x2n-4 : xn – xn-1 + xn-2

    17. Dividir por el método clásico :

      Teorema del Resto

      Es el método por el cual se obtienen el residuo de una división algebraica sin efectuar división.

      1° El divisor se iguala a cero

      2° Conseguiremos el resto Remplazando el valor anterior en el dividendo D

      Ejemplos

      Calcular el resto de las divisiones :

      1) 2n4 – 5n3 + 7n2 – 9n + 3 ÷ ( n – 1 )

      Solución

      1° n – 1 = 0

      2° n = 1 se reemplaza en el dividendo :

      n = 1R = 2n4 – 5n3 + 7n2 – 9n + 3

      R = 2( 1)4 – 5(1)3 + 7(1)2 – 9(1) + 3

      R = 2 – 5 + 7 – 9 + 3

      R = – 2 Residuo

    18. Dividir entre monomios y polinomio entre monomio

      2×4 – 4×2 + 3x + 6 ÷ 3 + 2

      Solución

      3x + 2 = 0

      3x = – 2

      x = -2/3

      se reemplaza en :

      2×4 – 4×2 + 3x + 6

    19. Hallar el residuo de los siguientes derivados

    Solución :

    x + y – z = 0

    x + y = z

    se reemplaza en

    R = ( x + y + z )2 – 4 z (x + y) + 3

    R = ( z + z)2 – 4z . z + 3

    R = (2 z)2 – 4 z2 + 3

    R = 4 z2 – 4 z2 + 3 à R = 3

    TAREA

    Hallar el residuo de los divisiones :

    1. 3×4 + 2¸ x3 + 13×2 + ¸ x – 6 ÷ 3x – ¸ R. -2

    2. (x + a)5 – x5 – a5 ÷ x + 2ª R. 30 a5

    3. [x (x + 1) (x + 2) (x + 3) – 12]4 ÷ x2 + 3x + 5 R. 81

    4. (x – y + 7)28 – (x – y + 5)15 + 3 ÷ (x – 4 + 6) R. 5

    5. 35×4 + 11×3 + 14×2 – 18x – 13 ÷ 5x + 3 R. 5

    6. Hallar “m” si la división :

    es exacta

    Solución :

    Por Teorema del Resto

    x + y = 0 à x = – y

    se remplaza en :

    (x – y)7 – x7 – my7 = 0

    (-y – y)7 – (-y)7 + my7 = 0

    (– 2y)7 – (-y)7 + my7 = 0

    – 128y7 + y7 – my7 = 0

    y7 ( – 128 + 1 + m) = 0

    - 127 + m = 0

    m = – 127

    127 + m = 0m = – 127

     

    OPERACIONES ALGEBRAICAS

    Archivado en: Uncategorized — sandycec2010 @ 2:55 am

    Álgebra

    1. Expresiones algebraicas

    Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.

    Coeficiente 3a2 Grado

    Parte literal

    Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.

    Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.

    Clases de expresiones algebraicas:

    1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3×2

    2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2×2 + 3xy

    3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.

    Ej: 5×2 + 4y5 – 6x2y

    4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.

    Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:

    1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.

    2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.

    3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.

    Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor númerico.

    2. Ejercicios operatorios con los monomios y polinomios

    Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2×3 + 5×3 – 6×3.

    Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2×3 + 5×3 – 6×3 = x3.

    Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4

    División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2

    Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.

    Ej: 7×5+0×4+3×3+4×2-2x

    5×5+0×4+0×3 -x2 -x

    12×5+0×4+3×3+3×2-3x

    Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.

    Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.

    Ej: P(x)= 2×5+3×4-2×3-x2+2x

    Q(x)= 2×3

    P(x).Q(x)= 4×8+6×7-4×6-2×5+4×4

    División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.

    Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.

    Ej: 4×4-2×3+6×2-8x-4 2x

    -4×4 2×3-x2+3x-4

    0-2×3

    +2×3

    0+6×2

    -6×2

    0-8x

    +8x

    0-4

    3. Igualdades notables

  • Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.

    Ej: (a+b)2= a2+2ab+b2

  • Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

    Ej: (a-b)2= a2-2ab+b2

  • Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.

    Ej: (a+b)3= a3+3a2b+3b2a+b3

  • Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.

    Ej: (a-b)3= a3-3a2b+3b2-b3

  • La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.

    Ej: (a+b) (a-b)= a2-b2

    Las ecuaciones

  • Ecuación y función

    Ecuación es toda función algebraica igualada a 0 ó a otra igualdad algebraica. A la primera parte de la igualdad se la llama 1er término y a la segunda se la llama 2º término. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo resultado.

    Hay distintos tipos de igualdades:

    Una igualdad numérica: 2+5=4+3

    Una igualdad algebraica: 2x+3x=6x

    Una función: 3x+2=y

    Una función es una expresión algebraica igualada a y.

    2. Resolución de ecuaciones

    Para resolver una ecuación, hallaremos el valor de la incógnita, siendo la incógnita el número desconocido, expresado normalmente por x.

    Pasos para resolver una ecuación:

    1º- Se quitan los paréntesis si los hubiere.

    2º- Se quitan los denominadores si los hubiere.

    3º- Se pasan todas las incógnitas al 1er miembro de la igualdad.

    4º- Se reducen los términos semejantes.

    5º- Hallamos el valor de la incógnita.

    Ej: 5x-7=28+4x ; 5x-4x=28+7 ; x=35

    Ecuaciones con denominadores:

    Quitamos los denominadores por el m.c.m. para ello:

    1º- Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

    2º-Ese es el denominador común y lo sustituimos por los denominadores anteriores.

    3º- Se divide el m.c.m. entre el denominador antiguo y se multiplica por el denominador.

    Ej: x -4 = x -3 ; m.c.m.(2 y 3)=6 ; 3x-24 = 2x-18 ; 3x-2x = -18+24 ; x = 6

    • 3

  • Sistemas de ecuaciones

    Si una expresión algebraica la igualamos a otra expresión algebraica y nos encontramos con dos incógnitas necesitamos otra igualdad de expresiones algebraicas para poderla resolver.

    Una expresión algebraica con dos incógnitas es lo que llamamos sistema de ecuaciones.

    Todo sistema de ecuaciones necesita tantas ecuaciones como incógnitas tenga.

    Sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

    Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar cuatro métodos:

    1º- Método de sustitución.

    2º- Método de igualación.

    3º- Método de reducción o de sumas y restas.

    4º- Método gráfico.

    Resolver un sistema por el método de sustitución:

    1º- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

    2º- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

    3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.

    4º- Reducimos los términos semejantes.

    5º- Despejamos una incógnita y la sustituimos en la 2ª ecuación.

    6º- Resolvemos la ecuación resultante.

    Resolver un sistema por el método de igualación:

    1º- Quitar los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

    2º- Quitar los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

    3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2º miembro.

    4º- Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.

    5º- Igualar las incógnitas despejadas y resolver la ecuación resultante.

    Resolver un sistema por el método de reducción o de sumas y restas:

    1º- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

    2º- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

    3º- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números .al 2º miembro.

    4º- Igualar los coeficientes de una incógnita y cambiar de signo si son iguales.

    5º- Sumar o restar el sistema que ha quedado al multiplicar y resolver la ecuación resultante.

    P(x):Q(x)= 2×3-x2+3x-4

    R= -4

  •  

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    terminos semejantes!!

    Archivado en: Uncategorized — sandycec2010 @ 2:41 am

    El álgebra elemental es una fundamental y relativamente básica forma de álgebra enseñada a los estudiantes que se presumen tienen poco o nada de conocimiento formal de las matemáticas más allá de la aritmética. Mientras que en aritmética solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (como +, -, ×, ÷), en álgebra también se utilizan símbolos para denotar números (como x, y, a y b). Éstos son llamados variables. Esto es útil porque:

    • Permite la generalización de ecuaciones aritméticas (y de inecuaciones) para ser indicadas como leyes (por ejemplo  \, a + b  = b + a para toda  \, a y  \ b ), y es así el primer paso al estudio sistemático de las propiedades del sistema de los números reales.

    • Permite la referencia a números que no se conocen. En el contexto de un problema, una variable puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede ser encontrado con la formulación y la manipulación de las ecuaciones.

    • Permite la exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades (por ejemplo, “si usted vende x boletos, entonces, su beneficio será 3x – 10 dólares”).

    Estas tres son los hilos principales del álgebra elemental, que deben ser distinguidos del álgebra abstracta, un tema más avanzado enseñado generalmente a los estudiantes universitarios.

    En álgebra elemental, una expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas. Por convención, éstos generalmente se escriben con los términos con exponente más altos a la izquierda (ver polinomio); algunos ejemplos son:

    x + 3\,

    y^{2} + 2x - 3\,

    z^{7} + a \cdot(b + x^{3}) +  \frac{42}{y}  - \pi.\,

    En un álgebra más avanzada, una expresión también puede incluir funciones elementales.

    Una ecuación es la aseveración de que dos expresiones son iguales. Algunas ecuaciones son verdades para todos los valores de las variables implicadas (por ejemplo  \, a + b = b + a ); tales ecuaciones son llamadas identidades. Las ecuaciones condicionales son verdades para solamente algunos valores de las variables implicadas:  \, x^{2} - 1 = 4 . Los valores de las variables que hacen la ecuación verdadera se llaman las soluciones de la ecuación.

    Contenido

    //

     Signos algebraicos

     Signos de operación

    Al igual que en la aritmética, en el álgebra se usan las operaciones de suma, resta, multiplicación, y división. Adicionalmente están las operaciones de potenciación y radicación.

    Los signos de operación son:

    • Suma: +

    • Resta: –

    • Multiplicación: × o ·, o es implícito entre las variables

    • División: /, : o \div

    • Potenciación: Es un pequeño número o letra arriba y a la derecha de una cantidad

    • Radicación: \sqrt.

     Signos de relación

    Indican la relación que hay entre dos expresiones. Los signos de relación son:

    • Menor que: <

    • Mayor que: >

    • Igual a: =

     Signos de agrupación

    Los signos de agrupación se usan para cambiar el orden de las operaciones. Las operaciones indicadas dentro de ellos deben realizarse primero.

    Los signos de agrupación son: los principales:

    • El paréntesis: ()

    • El corchete: []

    • La llave: {}

     Expresiones algebraicas

     Término

    Término es una expresión algebráica elemental donde se encuentran solo operaciones de multiplicación y división de números y letras. El número se llama coeficiente y las letras conforman la parte literal. Tanto el número como cada letra pueden estar elevados a una potencia. En una expresión algebraica con varios términos, éstos están separados con signos de suma y resta.

     Término independiente

    El término independiente es el que consta de solo un valor númerico y no tiene parte literal.

     Términos semejantes

    Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal (con las mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varían solo en el coeficiente. Solo se pueden sumar y restar términos semejantes. No se pueden sumar y restar términos que no sean semejantes, sin embargo, se puede multiplicar y dividir todo tipo de término. Si en una expresión algebraica hay varios términos semejantes, éstos se pueden simplificar sumándolos o restándolos.

    Grado de un término

    El grado de un término puede ser de dos tipos, grado absoluto y grado relativo.

    • Grado absoluto. Es la suma de los exponentes de cada letra de la parte lateral.

    • Grado relativo. Se toma en cuenta con respecto a una letra, y es el exponente de esta letra.

    Polinomio

    Artículo principal: Polinomio

    Es una expresión algebraica que contiene uno o más términos. Cuando el polinomio consta de uno, dos y tres términos se llama monomio, binomio y trinomio respectivamente.

    • Monomio: Es una expresión algebraica que contiene un solo término

    • Binomio : Es una expresión algebraica que contiene dos términos

    • Trinomio : Es una expresión algebraica que contiene tres términos

     Valor numérico de un polinomio

    Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos y luego realizar las operaciones del polinomio.

     Leyes del álgebra elemental

     Propiedades de las operaciones

    • La operación de multiplicación (×)

      • se escribe \, (a \times b) o \,( a \cdot b )

      • es comutativa: \, (a \cdot b ) =  \, (b \cdot a)

      • es asociativa:  \, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

      • es abreviada por yuxtaposición:  a \cdot b \equiv ab

      • tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división:  \frac{(ab)}{b} = a , que es igual a multiplicar por el recíproco,  \frac{a}{b} = a \left(\frac{1}{b} \right)

      • tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación:  a \times 1 = a

      • es distributiva respecto la adición:  \, (a + b) \cdot c = ac + bc

    • La operación de potenciación

      • se escribe  \, a^{b}

      • es una multiplicación repetida:  a^{n} = a \times a \times \ldots \times a (n veces)

      • no es ni comutativa ni asociativa: en general  \, a^{b}  \ne b^{a} y  \, (a^{b})^{c} \ne a^{(b^{c})}

      • tiene una operación inversa, llamada logaritmo:  \, a^{log_{a} b}= b = log_{a} a^{b}

      • puede ser escrita en términos de raíz n-ésima:  \ a^{m/n} \equiv    (\sqrt[n]{a^{m}}) y por lo tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema de números complejos)

      • es distributiva con respecto a la multiplicación:  \, (a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}

      • tiene la propiedad:  \ {a^{b}} \cdot {a^{c}} = a^{b + c}

      • tiene la propiedad:  \, (a^{b})^{c} = a^{bc}

     Orden de las operaciones

    Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de las operaciones. Primero se calcula los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), seguidas por multiplicaciones y divisiones, y seguidas finalmente por las sumas y las restas.

    Propiedades de la igualdad

    La relación de igualdad (=) es:

     Leyes de la igualdad

    La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

    • si  \, a = b y  \, c = d entonces  \, a + c = b + d y  \, ac = bd

    • si  \,a = b entonces  \, a + c = b + c

    • si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro.

    • regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si  \, a + c  = b + c entonces  \, a = b .

    • regularidad condicional de la multiplicación: si  \, a \cdot c  = b \cdot c y  \, c no es cero, entonces \, a = b .

     Leyes de la desigualdad

    La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:

    • de transitividad: si  \, a < b y  \, b < c entonces  \, a  < c

    • si  \, a < b y  \, c < d entonces  \, a + c <  b + d

    • si  \, a < b y  \, c > 0 entonces  \, ac <  bc

    • si  \, a < b y  \, c < 0 entonces  \, bc  < ac

    Regla de los signos

    En el producto (cociente) de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:

        \begin{cases}       + \cdot +  = + \\       + \cdot -  = - \\       - \cdot +  = - \\       - \cdot -  = +    \end{cases}

     

     

     

     

     

     

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    fRACIONES

    Archivado en: Uncategorized — sandycec2010 @ 2:26 am
    Concepto de fracción

       1.- Concepto de fracción. 

        Tres quintos es  una fracción que también se puede escribir así: 3/5. Aquí utilizaremos una u otra forma.

        La jarra está señalada en cuatro medidas. Está llena de leche hasta los 3/4. Falta de llenar  1/4.

       El cuadro está dividido en 8 partes. Están 3 coloreadas de rojo y sin colorear 5 partes, o sea 5/8.

       El rectángulo está dividido en 5 cuadrados: 2 están pintadas de marrón que son  2/5  del total y los otros 3 

    están coloreados de azul, es decir, 3/5.

     En la fracción 3/5 distinguimos el numerador (3) y el denominador (5). Esto significa que que el rectángulo se 

    ha dividido en 5 partes y hemos tomado 3.

       Una fracción es una o varias partes iguales en que se divide la unidad.

       Contesta a estas preguntas:

    En la fracción  2/5, el numerador es…

    En 3/4 el denominador es el…

    En 3/8 el denominador es el…

    En 1/3 el numerador es el…

     

       2.- Unidad fraccionaria
       
       Unidad fraccionaria es cada una de las partes iguales en que se considera dividida la unidad.
       
       Ejemplos: 1/2 (un medio), 1/7 (un séptimo), 1/8 (un octavo).

       Número fraccionario, fracción o quebrado es un conjunto de unidades fraccionarias.

       Ejemplos: 2/9 (dos novenos), 3/10 (tres décimos), 4/7 (cuatro séptimos).

       Haz este ejercicio:

    ¿Cuál es la unidad fraccionaria?

    ¿Cuál es el número fraccionario?

    ¿Cuál es la unidad fraccionaria

    ¿Cuál es el número fraccionario?

     



       3.- Lectura de una fracción.
       
       Si el denominador es un 2, la unidad fraccionaria es un medio; si es 3, un tercio; si es 4, un cuarto; si es 5, un quinto; si es 6, un sexto; si es un 7, un séptimo; si es 8, un octavo;, si es 9, un noveno y si es 10, un décimo. A partir de 11 en adelante se añade al número la terminación  avo.

       Ejemplos: 3/11, tres onceavos; 4/12 , cuatro doceavos; 4/25, cuatro veinticincoavos.

     

       ¿Cuál es la fracción correcta?

    Siete décimos

    Tres novenos

    Siete treceavos

    Doce quinceavos

     



       4.- Fracción propia e impropia.
       
       Si el numerador y el denominado son iguales la fracción vale una unidad entera.
       
       Ejemplos: 3/3 = 1; 5/5 = 1; 6/6 = 1.

       Cuando el numerador es más pequeño que el denominador, la fracción vale menos que la unidad entera y se llama fracción propia.

       Ejemplos: 4/6,  2/5,  1/3.

       Cuando el numerador es igual o mayor que el denominador, la fracción vale igual o más que la unidad y se llama impropia.

       Ejemplos: 7/4, 3/3, 6/2.

       Contesta a estos ejercicios:

    5/7 es una fracción…

    4/4 es una fracción…

    6/2 es una fracción…

    1/3 es una fracción…

     

       5- Números mixtos.

       ¿Cuánto valen 3/2 de pastel? Son tres mitades, es decir, un pastel entero y medio más. 3/2 = 1 y 1/2. Este es un número mixto, con parte entera y parte fraccionaria.

       Ejemplos: 6/5 = 1 y 1/5. Se lee uno y un quinto.

       Señala los números mixtos acertados:

    Dos y tres cuartos…

    Tres y un quinto…

    Cuatro y dos tercios…

    Dos y cinco sextos…

     

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    operaciones aritméticas!!!

    Archivado en: Uncategorized — sandycec2010 @ 2:16 am

    Suma o adición

    La suma es una operación que se deriva de la operación de contar.

    Si tenemos 6 ovejas y compramos 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 + 2 = 8.

    Los términos de la suma se llaman sumandos.

    Propiedades de la suma:

    a + b = b + a Esta propiedad se llama conmutativa.

    Si tenemos que sumar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que sumar a, b, c y d, podemos sumar primero a + b, despues c + d y despues sumar los dos resultados anteriores, o podemos sumar a + c, despues b + d y despues sumar los dos resultados anteriores o podemos sumar a + b y al resultado sumarle c y al resultado sumarle d. En fin podemos sumar los numeros en cualquier orden.

    La suma tiene elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma porque siempre se cumple que a + 0 = a.

    La suma tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que sumado al anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es -a, porque a + (-a) = 0

    Resta o substración

    Igual que la suma la resta es una operacion que se deriva de la operacion de contar.

    Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 – 2 = 4.

    Los terminos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

    Propiedades de la resta:

    La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a – b que b – a)

    Producto o multiplicación

    Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces. Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve representarlo asi 5 * 7 (esto significaria sumar 5 condigo mismo 7 veces).

    La multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas.

    Los terminos de la multiplicación se llaman multiplicando (el numero que se suma) y multiplicador (el número de veces que se suma).

    Propiedades de la multiplicación

    a * b = b * a. Esta propiedad se llama propiedad conmutativa

    Si tenemos que multiplicar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que multiplicar a, b, c y d, podemos multiplicar primero a . b, despues c . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores, o podemos multiplicar a . c, despues b . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores o podemos multiplicar a . b y multiplicar el resultado por c y despues multiplicarlo por d. En fin podemos multiplicar los numeros en cualquier orden.

    La multiplicación tiene elemento neutro. El uno es el elemento neutro de la multiplicación porque siempre se cumple que a .1 = a.

    La multiplicación tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que multiplicado por el anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es 1/a, porque a / a = 0

    a(b + c) = a . c + a . d. Esta propiedad se llama distributiva respecto a la suma.

    División

    La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.

    Los terminos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

    Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

    Propiedades de la division

    La divisón no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

    Potenciación

    En bastantes ocasiones tenemos que multiplicar un número por si mismo un número dado de veces.

    Por ejemplo: 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5

    Una forma de representar esta operacion es 57 (esto quiere decir que hay que multiplicar 5 por si mismo 7 veces).

    El numero inferior se llama base y el superior exponente.

    Propiedades de la potenciación:

    am.an = am+n

    am/an = am-n

    a0 = 1 (se deriva de la propiedad anterior am/am = 1 = am-m = a0)

    (am)n = am.n

    (a.b.c)m = am . bm .cm

    a-n = 1/an (se deriva de la segunda propiedad).

    Radicación

    La radicacion es la operacion inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.

    Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.

    El número que esta dentro de la raiz se llama radicando, el grado de la raiz se llama índice del radical, el resultado se llama raiz.

    Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raiz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raiz cúbica de a es a1/3 y en general, la raiz enesima de un numero a es a1/n.

    La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raices es convertir las raices a potencias y operar teneiendo en cuenta las propiedades dadas para la operacion de potenciación.

    Raiz cuadrada

    1- Para calcular la raiz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha

    Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5’56’01’64

    2- A continuacion se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas proximo al numero del primer grupo, empezando por la izquierda).

    En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raiz.

    3- Despues se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo

    En nuestro ejemplo 22 = 4 y restandolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1

    4- A continuacion ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

    En nuestro ejemplo nos quedaria 156

    5- Despues multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raiz.

    En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4

    6- A continuacion tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar por 10 el numero anterior y sumarle el numero quee stamos buscando se acerque lo mas posible al numero que tenemos como resto. Ese numero sera el siguiente numero de la raiz.

    En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la raiz seria 23…

    7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queriamos obtener realmente.

    En nuetro ejemplo: 156 – 129 = 27

    8- A continuacion repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

    En nuestro ejemplo: 2701

    9- A continuación repetimos el paso 5

    En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46

    10- Despues repetimos el paso 6

    En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raiz seria 235…

    11- Despues repetimos el paso 7

    En nuetro ejemplo: 2701 – 2325 = 376

    12- A continuacion repetimos el paso 8

    En nuestro ejemplo: 37664

    13 A continuacion repetimos el paso 5

    En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470

    14- A continuacion repetimos el paso 6

    En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a 37664 y la raiz seria 2358

    15- A continuacion repetimos el paso 7

    En nuestro ejemplo: 37664 – 37664 = 0 En este caso la raiz es exacta pues el resto es cero.

    Raiz cubica

    1- Para calcular la raiz cúbica de un número se comienza separando el numero en grupos de tres cifras, empezando por la derecha

    Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16’387’064

    2- A continuacion se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo mas posible al numero del primer grupo (empezando por la izquierda).

    En nuestro ejemplo el primer numero es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca mas a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raiz.

    3- Despues se eleva al cubo esta cifra y se resta del numero del primer grupo

    En nuestro ejemplo 23 = 8 y restandolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 – 8 = 8

    4- A continuacion ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo.

    En nuestro ejemplo nos quedaria 8387

    5- Despues tenemos que calcular un numero a que haciendo las operaciones siguientes:

    3 * (raiz obtenida hasta el momento)2 * a * 100 + 3 * (raiz obtenida hasta el momento) * a2 * 10 + a3

    se aproxime lo mas posible al numero obtenido en el punto 4.

    El número a, es el siguiente dígito de la raiz.

    En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 22 * 5 * 100 + 3 * 2 * 52 *10 + 53 = 7625

    6- A continuacion restamos este numero al numero obtenido en el paso 4.

    En nuestro ejemplo: 8387 – 7625 = 762.

    7- Repetimos el paso 4

    En nuestro ejemplo: 762064

    8- Repetimos el paso 5 y el numero obtenido seria el siguiente numero de la raiz.

    En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 252 * 4 * 100 + 3 * 25 * 42 *10 + 43 = 762064

    9 Repetimos el paso 6

    En nuestro ejemplo 762064 – 762064 = 0

    Suma o adición

    La suma es una operación que se deriva de la operación de contar.

    Si tenemos 6 ovejas y compramos 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 + 2 = 8.

    Los términos de la suma se llaman sumandos.

    Propiedades de la suma:

    a + b = b + a Esta propiedad se llama conmutativa.

    Si tenemos que sumar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que sumar a, b, c y d, podemos sumar primero a + b, despues c + d y despues sumar los dos resultados anteriores, o podemos sumar a + c, despues b + d y despues sumar los dos resultados anteriores o podemos sumar a + b y al resultado sumarle c y al resultado sumarle d. En fin podemos sumar los numeros en cualquier orden.

    La suma tiene elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma porque siempre se cumple que a + 0 = a.

    La suma tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que sumado al anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es -a, porque a + (-a) = 0

    Resta o substración

    Igual que la suma la resta es una operacion que se deriva de la operacion de contar.

    Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 – 2 = 4.

    Los terminos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

    Propiedades de la resta:

    La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a – b que b – a)

    Producto o multiplicación

    Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces. Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve representarlo asi 5 * 7 (esto significaria sumar 5 condigo mismo 7 veces).

    La multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas.

    Los terminos de la multiplicación se llaman multiplicando (el numero que se suma) y multiplicador (el número de veces que se suma).

    Propiedades de la multiplicación

    a * b = b * a. Esta propiedad se llama propiedad conmutativa

    Si tenemos que multiplicar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama propiedad asociativa). Si tenemos que multiplicar a, b, c y d, podemos multiplicar primero a . b, despues c . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores, o podemos multiplicar a . c, despues b . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores o podemos multiplicar a . b y multiplicar el resultado por c y despues multiplicarlo por d. En fin podemos multiplicar los numeros en cualquier orden.

    La multiplicación tiene elemento neutro. El uno es el elemento neutro de la multiplicación porque siempre se cumple que a .1 = a.

    La multiplicación tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que multiplicado por el anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es 1/a, porque a / a = 0

    a(b + c) = a . c + a . d. Esta propiedad se llama distributiva respecto a la suma.

    División

    La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.

    Los terminos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

    Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

    Propiedades de la division

    La divisón no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

    Potenciación

    En bastantes ocasiones tenemos que multiplicar un número por si mismo un número dado de veces.

    Por ejemplo: 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5

    Una forma de representar esta operacion es 57 (esto quiere decir que hay que multiplicar 5 por si mismo 7 veces).

    El numero inferior se llama base y el superior exponente.

    Propiedades de la potenciación:

    am.an = am+n

    am/an = am-n

    a0 = 1 (se deriva de la propiedad anterior am/am = 1 = am-m = a0)

    (am)n = am.n

    (a.b.c)m = am . bm .cm

    a-n = 1/an (se deriva de la segunda propiedad).

    Radicación

    La radicacion es la operacion inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.

    Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.

    El número que esta dentro de la raiz se llama radicando, el grado de la raiz se llama índice del radical, el resultado se llama raiz.

    Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raiz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raiz cúbica de a es a1/3 y en general, la raiz enesima de un numero a es a1/n.

    La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raices es convertir las raices a potencias y operar teneiendo en cuenta las propiedades dadas para la operacion de potenciación.

    Raiz cuadrada

    1- Para calcular la raiz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha

    Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5’56’01’64

    2- A continuacion se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas proximo al numero del primer grupo, empezando por la izquierda).

    En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raiz.

    3- Despues se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo

    En nuestro ejemplo 22 = 4 y restandolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1

    4- A continuacion ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

    En nuestro ejemplo nos quedaria 156

    5- Despues multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raiz.

    En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4

    6- A continuacion tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar por 10 el numero anterior y sumarle el numero quee stamos buscando se acerque lo mas posible al numero que tenemos como resto. Ese numero sera el siguiente numero de la raiz.

    En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la raiz seria 23…

    7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queriamos obtener realmente.

    En nuetro ejemplo: 156 – 129 = 27

    8- A continuacion repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

    En nuestro ejemplo: 2701

    9- A continuación repetimos el paso 5

    En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46

    10- Despues repetimos el paso 6

    En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raiz seria 235…

    11- Despues repetimos el paso 7

    En nuetro ejemplo: 2701 – 2325 = 376

    12- A continuacion repetimos el paso 8

    En nuestro ejemplo: 37664

    13 A continuacion repetimos el paso 5

    En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470

    14- A continuacion repetimos el paso 6

    En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a 37664 y la raiz seria 2358

    15- A continuacion repetimos el paso 7

    En nuestro ejemplo: 37664 – 37664 = 0 En este caso la raiz es exacta pues el resto es cero.

    Raiz cubica

    1- Para calcular la raiz cúbica de un número se comienza separando el numero en grupos de tres cifras, empezando por la derecha

    Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16’387’064

    2- A continuacion se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo mas posible al numero del primer grupo (empezando por la izquierda).

    En nuestro ejemplo el primer numero es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca mas a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raiz.

    3- Despues se eleva al cubo esta cifra y se resta del numero del primer grupo

    En nuestro ejemplo 23 = 8 y restandolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 – 8 = 8

    4- A continuacion ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo.

    En nuestro ejemplo nos quedaria 8387

    5- Despues tenemos que calcular un numero a que haciendo las operaciones siguientes:

    3 * (raiz obtenida hasta el momento)2 * a * 100 + 3 * (raiz obtenida hasta el momento) * a2 * 10 + a3

    se aproxime lo mas posible al numero obtenido en el punto 4.

    El número a, es el siguiente dígito de la raiz.

    En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 22 * 5 * 100 + 3 * 2 * 52 *10 + 53 = 7625

    6- A continuacion restamos este numero al numero obtenido en el paso 4.

    En nuestro ejemplo: 8387 – 7625 = 762.

    7- Repetimos el paso 4

    En nuestro ejemplo: 762064

    8- Repetimos el paso 5 y el numero obtenido seria el siguiente numero de la raiz.

    En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 252 * 4 * 100 + 3 * 25 * 42 *10 + 43 = 762064

    9 Repetimos el paso 6

    En nuestro ejemplo 762064 – 762064 = 0

     

     

     

     

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    ÁLGEBRA

    Archivado en: Uncategorized — sandycec2010 @ 1:55 am

     

    Álgebra

     

    Para los usos matemáticos de la palabra álgebra como estructura algebraica, véase álgebra no asociativa, álgebra asociativa, álgebra sobre un cuerpo.

    El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

    La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa “Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado”), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» جبر (yabr) , proviene por lo tanto del árabe y significa “reducción”, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

    Contenido

     

    Álgebra elemental

    Artículo principal: Álgebra elemental

    Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

    • Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.

    • Permite referirse a números “desconocidos”, formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.

    • Permite la formulación de relaciones funcionales.

     Historia

    Si bien la palabra “álgebra” viene de la palabra árabe (al-Jabr, الجبر), sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelen resolverse hoy mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indefinidas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de la India, griegos y matemáticos chinos en el primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en la matemática Rhind Papyrus, Sulba Sutras, Elementos de Euclides, y los Nueve Capítulos sobre el Arte de las Matemáticas. El trabajo geométrico de los griegos, centrado en las formas, dio el marco para la generalización de las fórmulas más allá de la solución de los problemas particulares de carácter más general, sino en los sistemas de exponer y resolver ecuaciones.

    Las mentes griegas matemáticas de Alejandría y Diofanto siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, pero el Diophantus del libro Arithmetica está en un nivel mucho más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque los babilonios y Diophantus utilizaron sobre todo los métodos especiales ad hoc para resolver ecuaciones, Al-Khowarizmi fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

    La palabra “álgebra” es el nombre de la palabra árabe “Al-Jabr, الجبر” en el título del libro al-Kitab al-muḫtaṣar fi al-Gabr ḥisāb wa-l-muqābala, الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, el sentido del Resumen del libro se refiere a la transposición y Cálculo de la Reducción de un libro escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī (considerado el “padre del álgebra”), en 820. La palabra Al-Jabr significa “reducción”. El matemático helenístico Diophantus ha sido tradicionalmente conocido como el “padre del álgebra”, pero en tiempos más recientes, hay mucho debate sobre si al-Khwarizmi, que fundó la disciplina de Al-Jabr, título que se merece su lugar. Los que apoyan Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el que se encuentra en el álgebra Arithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es totalmente retórica. Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi sobre el hecho de que presenta los métodos de “reducción” y “equilibrio” (la transposición de términos restará al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos a ambos lados de la ecuación), al cual el término Al-Jabr se refería originalmente, y que dio una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, apoyada por las pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como una disciplina independiente en su propio derecho. Su álgebra ya tampoco trataría “con una serie de los problemas por resolver”, sino con una “exposición que empieza con lo primitivo en el que las combinaciones deben dar todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante explícitamente constituyen el verdadero objeto de estudio”. También estudió una ecuación para su propio bien y “de forma genérica, en la medida que no sólo surgen en el curso de la solución de un problema, sino que específicamente en la llamada para definir una infinidad de problemas de clase”.

    El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas. Él también desarrolló el concepto de una función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de cúbicos, quartic, quintic y ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos.

    Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y quárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. Resumen de álgebra se desarrolló en el siglo XIX, centrándose inicialmente en lo que ahora se llama la teoría de Galois, y en cuestiones de constructibilidad.

     Estructura algebraica

    Artículo principal: Estructura algebraica

    En matemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas más importantes son:

    Estructura

    Ley interna

    Asociatividad

    Neutro

    Inverso

    Conmutatividad

    Magma

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    Semigrupo

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    Monoide

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    Monoide abeliano

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    Grupo

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    Grupo abeliano

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    Estructura (A,+,·)

    (A,+)

    (A,·)

    Semianillo

    Monoide abeliano

    Monoide

    Anillo

    Grupo abeliano

    Semigrupo

    Cuerpo

    Grupo abeliano

    Grupo abeliano

     

     Signos y símbolos

    En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando.

    Aquí algunos ejemplos:

    Signos y Símbolos

    Expresión

    Uso

    +

    Además de expresar adición, también es usada para expresar operaciones binarias

    c ó k

    Expresan Términos constantes

    Primeras letras del abecedario
    a, b, c,…

    Se utilizan para expresar cantidades conocidas

    Últimas letras del abecedario
    …,x, y, z

    Se utilizan para expresar incógnitas

    n

    Expresa cualquier número (1,2,3,4,…,n)

    Exponentes y subíndices
    a', a'', a'''; a _1, a _2, a _3 \!

    Expresar cantidades de la misma especie, de diferente magnitud.

     

     

     

     

     

     

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